De Houdbaarheid van Kurt Gödels Wiskundige Intuïtie

Wiskunde heeft filosofen al eeuwenlang beziggehouden en nog steeds bestaat er een levendig onderzoek naar dit onderwerp binnen de filosofie. De ontologie van de wiskunde is een belangrijk onderdeel van deze filosofie van de wiskunde. Binnen de ontologie van de wiskunde vindt men vragen als: ‘wat is een getal?’, ‘over wat of welke dingen gaat wiskunde?’ en ‘gaat wiskunde over dingen?’ Een mogelijk antwoord op deze vragen wordt gegeven door het platonisme. Het platonisme stelt dat wiskunde gaat over objecten die abstract en onafhankelijk van het menselijk denken zijn. Bovendien zijn het deze objecten die de wiskunde waar maken. Eén van de grootste problemen waar een wiskundig platonist mee te maken heeft, is dat hij niet kan verklaren hoe het kan dat wij kennis van deze abstracte objecten hebben. Voor dit epistemologische probleem moet de platonist een oplossing zien te formuleren. Een mogelijke oplossing voor dit probleem vinden we bij de logicus Kurt Gödel. Het is deze oplossing, Gödels notie van ‘wiskundige intuïtie’ (voorts: wiskundige intuïtie), die het onderwerp is van dit paper. Dit paper zal zich richten op de houdbaarheid van wiskundige intuïtie zoals ingezet door Kurt Gödel, namelijk als een epistemologisch vermogen om ons inzicht in wiskunde en haar axioma’s mee te verschaffen. Dit paper bestaat uit vijf onderdelen. Ten eerste zal ik uiteenzetten wat wiskundige intuïtie bij Gödel inhoudt en hoe deze positie zich verhoudt tot het wiskundig platonisme. Gödel achtte deze stroming binnen de ontologie van de wiskunde zeer nauw verbonden met wiskundige intuïtie. Ten tweede zal ik twee kritieken op Gödels opvatting over wiskundige intuïtie behandelen. De auteurs van deze twee kritieken, Paul Benacerraf en Charles Chihara, zetten argumenten in die in hun ogen niet alleen de plausibiliteit maar ook de houdbaarheid van wiskundige intuïtie aantasten. Hoewel er andere kritieken mogelijk zijn, wil ik me in dit paper tot deze twee kritieken beperken. Ten derde zal Gödels eigen argument voor wiskundige intuïtie uiteen worden gezet. Dit argument sluit aan op de praktijk van het ontdekken van nieuwe axioma’s in de wiskunde, geïllustreerd aan de hand van de continuümhypothese. Ten vierde beschouw ik een mogelijk filosofisch gevolg van Gödels eerste incompleetheidsstelling. Dit gevolg heeft te maken met de aard van wiskundige kennis. In dit verband zal ik tevens de kenleer van Immanuel Kant en David Hume bespreken. Ten slotte beschouw ik een argument voor wiskundige intuïtie op basis van de functie die wiskundige afbeeldingen zouden moeten innemen in de wiskundige praktijk. Een aantal van de argumenten die ik doorheen dit paper zal geven zijn directe argumenten voor wiskundige intuïtie. Het doel van dit paper is echter niet de lezer te overtuigen van de correctheid of het bestaan van wiskundige intuïtie. Ik wil niet pleiten voor de geldigheid, maar voor de houdbaarheid van wiskundige intuïtie.